Question

设函数f（x）=2cos（2x+

π

3

）+

3

（sinx+cosx）²．
（Ⅰ）求函数f（x）的最大值和最小正周期；
（Ⅱ）设A，B，C为△ABC的三个内角，若cosB=

1

3

，f（

π

4

+

C

2

）=

3

2

，且C为锐角，求sinA的值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由题意可得：f（x）=cos2x+

3

，所以函数f（x）的最大值为1+

3

，最小正周期π．
（Ⅱ）由（I）可得：f（

π

4

+

C

2

）=sinC+

3

=

3

2

，进而求出C=

π

3

，由题意可得：cosB=

1

3

，所以 sinB=

2 2

3

，结合 sinA=sin（B+C）=sinBcosC+cosBsinC即可得到答案．

解答：解：（Ⅰ）由题意可得：
f（x）=2cos（2x+

π

3

）+

3

（sinx+cosx）²
=cos2x-

3

sin2x+

3

（1+sin2x）
=cos2x+

3

所以函数f（x）的最大值为1+

3

，最小正周期π．
（Ⅱ）由（I）可得：f（

π

4

+

C

2

）=cos（

π

2

+C）+

3

=-sinC+

3

=

3

2

，
所以sinC=

3

2

，
因为C为锐角，所以C=

π

3

，
又因为在△ABC中，cosB=

1

3

，所以 sinB=

2 2

3

，
所以 sinA=sin（B+C）=sinBcosC+cosBsinC=

2 2

3

×

1

2

+

1

3

×

3

2

=

2 2 + 3

6

．

点评：解决此类问题的关键是熟练掌握二倍角公式与两角和与差的正弦余弦公式，以及三角函数的有关性质．