Question

如图所示的数表，对任意正整数i（i=1，2，3，…）满足以下两个条件：
①第一行只有一个数1；
②第i行共有i个数，这行从左至右第一个数等于前一行所有数的平均数，这些数构成一个公差为2的等差数列，
则：（1）第7行第一个数为

16

；（2）第n行所有数的和为

n3-n2+2n

2

．

Answer 1

分析：根据第i行共有i个数，这行从左至右第一个数等于前一行所有数的平均数，这些数构成一个公差为2的等差数列，可得第n行所有数的和an=n×

an-1

n-1

+2+4+…+2(n-1)，由此可求第n行所有数的和．

解答：解：设a_n为第n行所有数的和，
根据第i行从左至右第一个数等于前一行所有数的平均数，可得第n行的第一个数等于

an-1

n-1

，
再利用第i行的数构成一个公差为2的等差数列，可得an=n×

an-1

n-1

+2+4+…+2(n-1)=n×

an-1

n-1

+n(n-1)
∴

an

n

-

n(n-1)

2

=

an-1

n-1

-

(n-1)(n-2)

2

∴

an

n

-

n(n-1)

2

=

an-1

n-1

-

(n-1)(n-2)

2

=…=

a1

1

=1
∴an=

n3-n2+2n

2

∴第7行第一个数为

a6

6

=

96

6

=16
故答案为：16，

n3-n2+2n

2

点评：本题考查数列的应用，考查新定义，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．