(本题满分14分)已知函数的图象在点处的切线的斜率为,且在处取得极小值。
(1)求的解析式;
(2)已知函数定义域为实数集,若存在区间,使得在的值域也是,称区间为函数的“保值区间”.
①当时,请写出函数的一个“保值区间”(不必证明);
②当时,问是否存在“保值区间”?若存在,写出一个“保值区间”并给予证明;若不存在,请说明理由.
解:(1)∵,
∴ …… 1 分
由 …… 4 分
∴, 令,解得,
当变化时,,的变化情况如下表:
1 |
|||||
0 |
0 |
+ |
|||
↗ |
极大值 |
↘ |
极小值 |
↗ |
∴当时,取得极小值。
所以,。 …… 5 分
(2) ① …… 7 分
②由(1)得,
假设当x>1时,存在“保值区间”:[m,n](n>m>1)。
因为当x>1时,所以在区间是增函数,
依题意,
于是问题转化为有两个大于1的根。 …… 9 分
现在考察函数
则令
又∵
∴1<
当变化时,,的变化情况如下表:
(1,) |
|||
- |
0 |
+ |
|
单调递减 |
极小值 |
单调递增 |
所以,在在(1,) 上单调递减, 在上单调递增。 …… 12 分
于是,,
又因为
所以,当时,的图象与轴只有一个交点, …… 13 分
即方程有且只有一个大于1的根,与假设矛盾。
故当x>1时,不存在“保值区间”。 …… 14 分
(2)解法2:由(1)得,
② 假设当x>1时,存在“保值区间”:[m,n](n>m>1)。
因为当x>1时,所以在区间是增函数,
依题意,
于是问题转化为方程,即有两个大于1的根。…… 9 分
考察函数=(),与函数().
当x>1时,,
所以
而函数在区间 …… 12 分
又因为 所以,
因此函数=()的图象与函数()的图象只有一个交点。
…… 13分
即方程有且只有一大于1的根,与假设矛盾。
故当时,不存在“保值区间”
【解析】略
科目:高中数学 来源:2012-2013学年吉林省高三第一次月考文科数学试卷(解析版) 题型:解答题
(本题满分14分)已知函数
(1)若,求x的值;
(2)若对于恒成立,求实数m的取值范围.
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科目:高中数学 来源:2010-2011学年广东省惠州市高三第三次调研考试数学理卷 题型:解答题
(本题满分14分)
已知椭圆:的离心率为,过坐标原点且斜率为的直线与相交于、,.
⑴求、的值;
⑵若动圆与椭圆和直线都没有公共点,试求的取值范围.
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科目:高中数学 来源:2010-2011学年广东省惠州市高三第三次调研考试数学理卷 题型:解答题
((本题满分14分)
已知梯形ABCD中,AD∥BC,∠ABC =∠BAD =,AB=BC=2AD=4,E、F分别是AB、CD上的点,EF∥BC,AE = x,G是BC的中点.沿EF将梯形ABCD翻折,使平面AEFD⊥平面EBCF (如图).
(1)当x=2时,求证:BD⊥EG ;
(2)若以F、B、C、D为顶点的三棱锥的体积记为,
求的最大值;
(3)当取得最大值时,求二面角D-BF-C的余弦值.
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