Question

（本小题满分13分）
已知数列，其前项和为．
（1）求数列的通项公式，并证明数列是等差数列；
（2）如果数列满足，请证明数列是等比数列；
（3）设，数列的前项和为，求使不等式对一切都成立的最大正整数的值．

Answer 1

解：（Ⅰ）当时，，                ………………………1分
当时，
．    ……………………………2分
又满足，                 ……………………………3分
．                ………………………………4分
∵   ，
∴数列是以5为首项，为公差的等差数列．        ………………5分
（Ⅱ）由已知得 ，       ………………………6分
∵   ，    ……………………7分
又，
∴数列是以为首项，为公比的等比数列．        ………………8分
（Ⅲ） ……10分
∴ 
．                   ……………………11分
∵ ，
∴单调递增．
∴．                                …………………12分
∴，解得，因为是正整数， ∴． ………………13分

略