练习册

  • 练习册
  • 试题
    精英家教网 > 高中数学 > 题目详情
    已知f（x）=4|x|3-2a|x|．
    （1）设f（x）图象在点（-1，f（-1））处的切线方程是2x+y+b=0，求b的值．
    （2）是否存在实数a，使得函数在[-1，1]内的最小值为-2，若存在，求出a的值；若不存在，请说明理由．
    分析：（1）先把f（x）化为分段函数，由x＜0时可得f′（x），根据f′（-1）=-2可得a，从而得f（-1），由点（-1，-6）在直线y+2x+b=0上可得b；
    （2）易知f（x）是偶函数，f（x）在[-1，1]内的最小值为-2充要条件是f（x）在[0，1]内的最小值为-2，当x∈[0，1]时，f（x）=4x3-2ax，利用导数可求f（x）在[0，1]内的最小值，令其为-2解出a验证条件即可，注意分类讨论；
    解答：解：（1）f（x）=4|x|3-2a|x|=
    4x3-2ax，x≥0
    -4x3+2ax，x＜0
    ，
    当x＜0时，f'（x）=-12x2+2a，
    ∵x=-1时，切线的斜率是-2，∴f'（-1）=-2，即-12+2a=-2，a=5，
    此时f（-1）=4-10=-6，点（-1，-6）在直线y+2x+b=0上，
    ∴b=8；
    （2）∵f（x）是偶函数，f（x）在[-1，1]内的最小值为-2充要条件是f（x）在[0，1]内的最小值为-2，
    当x∈[0，1]时，f（x）=4x3-2ax，f'（x）=12x2-2a，
    令f’（x）=0，则x=±
    a
    6
    (a≥0)    ，
    ①当
    a
    6
    ≥1，即a≥6，x∈[0，1]    时，f’（x）＜0，f（x）在[0，1]上是减函数，其最小值为f（1），令f（1）=-2，4-2a=-2，a=3，不合题意舍去．
    ②当0＜
    a
    6
    ＜1，即0＜a＜6    时，
    x 0 （0，
    a
    6
    ）
    a
    6
    		 （
    a
    6
    ，1）    		 1
    f（x） - 0 +
    f’（x） 0 ↓ 取极小值 ↑ 4-2a
    f（x）在[0，1]的最小值为f（
    a
    6
    ），
    令f（
    a
    6
    ）=-2，即4（
    a
    6
    ）3-2a
    a
    6
    =-2，
    解之得：a=
    3
    32
    =
    3
    34
    2
    ∈[0，6]    ，
    ∴存在实数a=
    3
    34
    2
    ，使得函数在[-1，1]内的最小值为-2．
    点评：本题考查导数的几何意义、利用导数求函数的最值，考查转化思想，考查学生分析问题解决问题的能力．
    练习册系列答案
    年级 高中课程 年级 初中课程
    高一 高一免费课程推荐！ 初一 初一免费课程推荐！
    高二 高二免费课程推荐！ 初二 初二免费课程推荐！
    高三 高三免费课程推荐！ 初三 初三免费课程推荐！
    相关习题

    科目：高中数学 来源： 题型：

    已知函数f(x)=sin2(
    π
    4
    +x)+cos2x+
    1
    2
    ，x∈R    ．
    （Ⅰ）求函数f（x）的最值与最小正周期；
    （Ⅱ）求使不等式f(x)≥
    3
    2
    (x∈[0，π])    成立的x的取值范围．

    查看答案和解析>>

    科目：高中数学 来源： 题型：

    已知f 1(x)=|3x-1|，f2(x)=|a•3x-9|(a＞0)，x∈R，且f（x）=
    f1(x)，f1(x)≤f2(x)
    f2(x)，f1(x)＞f2(x)

    （1）当a=1时，求f（x）的解析式；
    （2）在（1）的条件下，若方程f（x）-m=0有4个不等的实根，求实数m的范围；
    （3）当2≤a＜9时，设f（x）=f2（x）所对应的自变量取值区间的长度为l（闭区间[m，n]的长度定义为n-m），试求l的最大值．

    查看答案和解析>>

    科目：高中数学 来源： 题型：

    已知函数f(x)=2sin2(
    π
    4
    +ωx)-
    		3
    cos2ωx-1(ω＞0)    的最小正周期为
    2π
    3

    （Ⅰ）求ω的值；
    （Ⅱ）若不等式|f（x）-m|＜2在x∈[
    π
    6
    ，
    π
    2
    ]    上恒成立，求实数m的取值范围．

    查看答案和解析>>

    科目：高中数学 来源： 题型：

    已知f(x)=
    		x-3
    +4(x≥3)    ，则f-1（5）=
    4
    4
    ．

    查看答案和解析>>

    科目：高中数学 来源： 题型：

    （2010•重庆三模）已知f（x）是个一元三次函数，且满足
    lim
    x→1
    f(x)
    x-1
    =4，
    lim
    x→2
    f(x)
    x-2
    =-2，若函数F（x）=
    f(x)
    x-3
    (x≠3)
    a       (x=3)
    在R上处处连续，则实数a的值为
    4
    4
    ．

    查看答案和解析>>

    同步练习册答案