练习册

  • 练习册
  • 试题
    精英家教网 > 高中数学 > 题目详情
    过曲线上一点与以此点为切点的切线垂直的直线，叫做曲线在该点的法线．
    已知抛物线C的方程为y=ax2（a＞0，x≠0）．点M（x0，y0）是C上任意点，过点M作C的切线l，法线m．
    （I）求法线m与抛物线C的另一个交点N的横坐标xN取值范围；
    （II）设点F是抛物线的焦点，连接FM，过点M作平行于y轴的直线n，设m与x轴的交点为S，n与x轴的交点为K，设l与x轴的交点为T，求证∠SMK=∠FMN
    分析：（Ⅰ）将直线m的方程与抛物线C的方程组成方程组，消去y得到关于x的方程，再根据根与系数的关系求得N点的横坐标的表达式，最后根据函数的值域求出其范围即可；
    （Ⅱ）欲证∠SMK=∠FMN，即要证∠TMK=∠FMT，为了证角相等，只要证明直线n是∠FMK的平分线，故只要证明T到直线n和直线MF距离相等即可．
    解答：解：（Ⅰ）易得直线m的方程：y-y0=-
    1
    2ax0
    (x-x0)    与y=ax2
    联立得ax2+
    x
    2ax0
    -
    1
    2a
    -a
    x
    2
    0
    =0    ，
    ∴xN•x0=-
    1
    2a2
    -
    x
    2
    0
    ，xN=-
    1
    2a2x0
    -x0    ，
    易得xN∈(-∞，-
    		2
    2
    ]∪[
    		2
    2
    ，+∞)
    即xN取值范围是(-∞，-
    		2
    2
    ]∪[
    		2
    2
    ，+∞)    ；（6分）
    （Ⅱ）由题意得l的方程y-y0=2ax0（x-x0），令y=0得xT=
    x0
    2
    ，∴T(
    x0
    2
    ，0)
    此时T到直线n的距离为|
    x0
    2
    |    ，又MF方程：y-
    1
    4a
    =
    a
    x
    2
    0
    -
    1
    4a
    x0
    (x-0)    ，
    设T到MF距离为d，则d=
    |(a
    x
    2
    0
    -
    1
    4a
    )
    x0
    2
    +
    x0
    4a
    |
    x
    2
    0
    +(a
    x
    2
    0
    -
    1
    4a
    )    2
    =|
    x0
    2
    |    ，
    ∴∠TMK=∠FMT，∴∠SMK=∠FMN．（13分）
    点评：本题主要考查了抛物线的标准方程、直线与圆锥曲线的综合问题．直线与圆锥曲线联系在一起的综合题在高考中多以高档题、压轴题出现，主要涉及位置关系的判定，弦长问题、最值问题、对称问题、轨迹问题等，突出考查了数形结合、分类讨论、函数与方程、等价转化等数学思想方法．
    练习册系列答案
    年级 高中课程 年级 初中课程
    高一 高一免费课程推荐！ 初一 初一免费课程推荐！
    高二 高二免费课程推荐！ 初二 初二免费课程推荐！
    高三 高三免费课程推荐！ 初三 初三免费课程推荐！
    相关习题

    科目：高中数学 来源：2010年安徽省合肥一中高考数学冲刺最后一卷（理科）（解析版） 题型：解答题

    过曲线上一点与以此点为切点的切线垂直的直线，叫做曲线在该点的法线．
    已知抛物线C的方程为y=ax2（a＞0，x≠0）．点M（x，y）是C上任意点，过点M作C的切线l，法线m．
    （I）求法线m与抛物线C的另一个交点N的横坐标xN取值范围；
    （II）设点F是抛物线的焦点，连接FM，过点M作平行于y轴的直线n，设m与x轴的交点为S，n与x轴的交点为K，设l与x轴的交点为T，求证∠SMK=∠FMN

    查看答案和解析>>

    同步练习册答案