Question

已知f（x）=lg

2x

ax+b

，f（1）=0，当x＞0时，恒有f（x）-f（

1

x

）=lgx．
（1）求f（x）的解析式；
（2）若方程f（x）=lg（m+x）的解集是∅，求实数m的取值范围．

Answer 1

分析：（1）根据 当x＞0时，恒有f（x）-f（

1

x

）=lgx，可得（a-b）x²-（a-b）x=0，求得 a=b，再由f（1）=0 可得a+b=2，从而求得a，b的值，可得函数的解析式．
（2）由方程 lg

2x

x+1

=lg（m+x）可得

x2+(m-1)x+m=0 x＞0 ，或x＜-1

．由方程f（x）=lg（m+x）的解集是∅，可得：①方程x²+（m-1）x+m=0无解，即△＜0，
或②方程x²+（m-1）x+m=0有解，且两根都在[-1，0]内．分别求得实数m的取值范围，再取并集，即得所求．

解答：解：（1）∵当x＞0时，恒有f（x）-f（

1

x

）=lgx，∴lg

2x

ax+b

-lg

2

bx+a

=lgx，∴（a-b）x²-（a-b）x=0．
∵x≠0，∴a-b=0，即 a=b．
再由f（1）=0 可得a+b=2，∴a=b=1，
∴f（x）=lg

2x

x+1

．
（2）由方程 lg

2x

x+1

=lg（m+x）可得

2x x+1 =m+x 2x x+1 ＞0

，即

x2+(m-1)x+m=0 x＞0 ，或x＜-1

．
方程f（x）=lg（m+x）的解集是∅，故有两种情况：①方程x²+（m-1）x+m=0无解，
∴△＜0，解得3-2

2

＜m＜3+2

2

．
②方程x²+（m-1）x+m=0有解，且两根都在[-1，0]内，令g（x）=x²+（m-1）x+m，

则有

△≥0 g(-1)≥0 g(0)≥0 -1≤ 1-m 2 ≤0

即

m≤3-2 2 或m≥3+2 2 1≤m≤3

，无解．
综合①、②，实数m的取值范围是（3-2

2

 ，3+2

2

 ）．

点评：本题主要考查对数型函数的图象和性质的应用，体现了分类讨论和等价转化的数学思想，属于中档题．