Question

如图，椭圆C：焦点在x轴上，左、右顶点分别为A₁、A，上顶点为B，抛物线C₁、C₂分别以A、B为焦点，其顶点均为坐标原点O．C₁与C₂相交于直线上一点P．
（Ⅰ）求椭圆C及抛物线C₁、C₂的方程；
（Ⅱ）若动直线l与直线OP垂直，且与椭圆C交于不同两点M、N，已知点，0），求的最小值．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）由题意知，A（a，0），，故抛物线C₁的方程可设为y²=4ax，C₂的方程为．由此能求出椭圆C：，抛物线C₁：y²=16x，抛物线C₂：．
（Ⅱ）由直线OP的斜率为，知直线l的斜率为，设直线l方程为，由消去y，整理得，再由根的判别式和韦达定理进行求解．
解答：解：（Ⅰ）由题意知，A（a，0），故抛物线C₁的方程可设为y²=4ax，C₂的方程为
则，得a=4，
所以椭圆C：，抛物线C₁y²=16x：，抛物线C₂：
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，直线OP的斜率为，所以直线l的斜率为，
设直线l方程为
由消去y，整理得
因为直线l与椭圆C交于不同两点，所以△=128b²-20（8b²-16）＞0，
解得
设M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），则，
因为，，
所以=
因为，所以当时，取得最小值，
其最小值等于
点评：本题考查直线和圆锥曲线的综合运用，解题时要认真审题，注意挖掘题设中的隐含条件，合理地进行等价转化．