Question

（2013•南充三模）定义在R上的函数y=f（x）其周期为4，且满足：①f（x）是偶函数；②（1，0）是函数y=f（x）的一个对称点；且当0＜x≤1时，f（x）=log₃x，则方程f（x）+4=0在区间（-2，10）内的所有实根个数为（　　）

A．4

B．5

C．6

D．8

Answer 1

分析：利用函数的周期性、奇偶性和对称性，结合图象可得方程的根．

解答：解：根据题意，当0＜x≤1时，f（x）=log₃x=-4，可得x=3^-4=

1

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，
因为f（x）是偶函数，所以当-1≤x＜0时，f（x）=log₃（-x）=-4，
可得-x=3-4，x=-

1

81

，
∵f（x-1）是奇函数，图象关于点（-1，0）对称，
∴当-2＜x≤-1时的函值域与当-1≤x＜0时函数值域互为相反数，f（x）≥0，方程f（x）=-4没有实根
再根据f（x）是偶函数，图象关于点y轴对称得，当-2＜x≤-1时的函值域与当1≤x＜2时函数值域相同，
f（x）≥0，方程f（x）=-4没有实根，
因此函数在（-2，2）只有两个实数根x=±

1

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，
因为函数的周期为4，因此可得在（2，6）只有两个实数根x=±

1

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+4，
在（6，10）只有两个实数根x=±

1

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+8，
因此可得函数方程f（x）+4=0在区间（-2，10）内的所有实根个数为6个．
故选C．

点评：本题主要考查函数的周期性、奇偶性以及对称性的综合应用，综合性比较强．