Question

（理科做：）已知A（1，1）是椭圆上一点，F₁、F₂是椭圆的两个焦点，且满足|AF₁|+|AF₂|=4．
（I）求两焦点的坐标；
（II）设点C、D是椭圆上的两点，直线AC、AD的倾斜角互补，直线CD的斜率是否为定值？若是定值，求出其值；若不是定值，则说明理由．

Answer 1

解：（I）∵|AF₁|+|AF₂|=4，
∴2a=4，∴a=2，
设椭圆方程为，
把（1，1）代入，得，
∴，
∴，
∴两焦点的坐标，．
（II）设AC：y=k（x-1）+1，
联立，
得（1+3k²）x²-6k（k-1）x+3k²-6k-1=0，
∵A（1，1）在椭圆上，方程有一个根为x_A=1，
∴，
∵AC与AD的倾斜角互补，
∴AD为：y=-k（x-1）+1，
同理，，
∵y_C=k（x_C-1）+1，
y_D=-k（x_D-1）+1，
y_C-y_D=k（x_C+x_D）-2k，
∴．
故CD的斜率为定值．
分析：（I）由|AF₁|+|AF₂|=4，知a=2，设椭圆方程为，把（1，1）代入，得，得，由此能求出两焦点的坐标．
（II）设AC：y=k（x-1）+1，联立，得（1+3k²）x²-6k（k-1）x+3k²-6k-1=0，由A（1，1）在椭圆上，方程有一个根为x_A=1，知，由AC与AD的倾斜角互补，能推导出CD的斜率为定值．
点评：本题考查直线与椭圆的位置关系，考查运算求解能力，考查论证推导能力，解题时要认真审题，仔细解答，注意合理地进行等价转化．