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(理科做:)已知A(1,1)是椭圆数学公式上一点,F1、F2是椭圆的两个焦点,且满足|AF1|+|AF2|=4.
(I)求两焦点的坐标;
(II)设点C、D是椭圆上的两点,直线AC、AD的倾斜角互补,直线CD的斜率是否为定值?若是定值,求出其值;若不是定值,则说明理由.

解:(I)∵|AF1|+|AF2|=4,
∴2a=4,∴a=2,
设椭圆方程为
把(1,1)代入,得


∴两焦点的坐标
(II)设AC:y=k(x-1)+1,
联立
得(1+3k2)x2-6k(k-1)x+3k2-6k-1=0,
∵A(1,1)在椭圆上,方程有一个根为xA=1,

∵AC与AD的倾斜角互补,
∴AD为:y=-k(x-1)+1,
同理,
∵yC=k(xC-1)+1,
yD=-k(xD-1)+1,
yC-yD=k(xC+xD)-2k,

故CD的斜率为定值
分析:(I)由|AF1|+|AF2|=4,知a=2,设椭圆方程为,把(1,1)代入,得,得,由此能求出两焦点的坐标.
(II)设AC:y=k(x-1)+1,联立,得(1+3k2)x2-6k(k-1)x+3k2-6k-1=0,由A(1,1)在椭圆上,方程有一个根为xA=1,知,由AC与AD的倾斜角互补,能推导出CD的斜率为定值.
点评:本题考查直线与椭圆的位置关系,考查运算求解能力,考查论证推导能力,解题时要认真审题,仔细解答,注意合理地进行等价转化.
练习册系列答案
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科目:高中数学 来源: 题型:

(理科做):已知:如图,△ABC的边BC长为16,AC、AB边上中线长的和为30.
求:(I)△ABC的重心G的轨迹;
(II)顶点A的轨迹方程.

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科目:高中数学 来源: 题型:

(理科做:)已知A(1,1)是椭圆
x2
a2
+
y2
b2
=1  (a>b>0)
上一点,F1、F2是椭圆的两个焦点,且满足|AF1|+|AF2|=4.
(I)求两焦点的坐标;
(II)设点C、D是椭圆上的两点,直线AC、AD的倾斜角互补,直线CD的斜率是否为定值?若是定值,求出其值;若不是定值,则说明理由.

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科目:高中数学 来源: 题型:解答题

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科目:高中数学 来源:不详 题型:解答题

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x2
a2
+
y2
b2
=1  (a>b>0)
上一点,F1、F2是椭圆的两个焦点,且满足|AF1|+|AF2|=4.
(I)求两焦点的坐标;
(II)设点C、D是椭圆上的两点,直线AC、AD的倾斜角互补,直线CD的斜率是否为定值?若是定值,求出其值;若不是定值,则说明理由.

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