Question

已知函数g（x）=是奇函数，f（x）=log₄（4^x+1）+mx是偶函数．
（1）求m+n的值；
（2）若g（x）＞log₄（2a+2）对任意的x≥1恒成立，求a的取值范围．

Answer 1

解：（1）由于g（x）为奇函数，且定义域为R，
∴g（0）=0，即=0，解之得n=1，
由于f（x）=log₄（4^x+1）+mx，
∴f（-x）=log₄（4^-x+1）-mx=log₄（4^x+1）-（m+1）x，
∵f（x）=log₄（4^x+1）+mx是偶函数，
∴f（-x）=f（x），得到mx=-（m+1）x恒成立，故m=-，
由此可得：m+n的值为；
（2）由（1）知，g（x）==2^x-2^-x在区间[1，+∞）上时增函数，
所以当x≥1时，g（x）_min=g（1）=，
由题意，得，解得-1＜a＜3，
故实数a的取值范围是：{a|-1＜a＜3}．
分析：（1）根据定义在R上奇函数满足g（0）=0，解出n=1，再根据f（-x）=f（x），化简整理得到m=-，由此可得m+n的值；
（2）由（1）表示出g（x），解决该问题只需求出g（x）的最小值，易判断g（x）在[1，+∞）上的单调性，根据单调性可求出g（x）的最小值；
点评：本题考查函数奇偶性、单调性的综合应用，考查函数恒成立问题，考查转化思想，属中档题．