Question

求适合下列条件的椭圆的标准方程．
（1）离心率e=

2

3

，短轴长为8

5

．
（2）焦点在y轴上，与y轴的一个交点为P（0，-10），P到它较近的一个焦点的距离等于2．

Answer 1

分析：（1）由题意可得

b=4 5 e= c a = 2 3 a2-b2=c2

，解方程组即可求得a，b；
（2）可设出焦点在y轴上的椭圆的标准方程为：

y2

a2

+

x2

b2

=1（a＞b＞0），结合题意即可求得a，b的值．

解答：解：（1）由  

b=4 5 e= c a = 2 3 a2-b2=c2

⇒

a=12 c=8

，
∴椭圆的方程为：

x2

144

+

y2

80

=1或

y2

144

+

x2

80

=1．
（2）∵椭圆的焦点在y轴上，所以可设它的标准方程为：

y2

a2

+

x2

b2

=1（a＞b＞0），
∵P（0，-10）在椭圆上，
∴a=10．
又∵P到它较近的一焦点的距离等于2，
∴-c-（-10）=2，故c=8．
∴b²=a²-c²=36．
∴所求椭圆的标准方程是

y2

100

+

x2

36

=1．

点评：本题考查椭圆的标准方程及椭圆的简单性质，在焦点位置不确定时需分类讨论，考查分析与计算的能力，属于中档题．