Question

如图，轴截面为边长为等边三角形的圆锥，过底面圆周上任一点作一平面α，且α与底面所成二面角为，已知α与圆锥侧面交线的曲线为椭圆，则此椭圆的离心率为（ ）

A．
B．
C．
D．

Answer 1

【答案】分析：设轴截面为SEF，椭圆中心为0、长轴为FH，延长S0交EF于点B，取SB中点G，连结GH．设OC是椭圆的短半轴，延长SC交底面圆于点A，连结AB．根据正△SEF中∠HEF=∠SEF得FH⊥SE，算出FH=6，即椭圆的长轴2a=6．利用△SBE的中位线和△OBF≌△OGH，算出BF=EF=，从而在底面圆中算出AB=，进而在△SAB中，利用平行线分线段成比例，得OC=AB=，即椭圆短半轴b=．最后由椭圆的平方关系算出c=，从而可得该椭圆的离心率．
解答：解：设圆锥的顶点为S，轴截面为SEF，过F的一平面α与底面所成角为，α与母线SE交于点H，
α与圆锥侧面相交所得的椭圆中心设为0，延长S0交EF于点B，取SB中点G，连结GH
设OC是椭圆的短半轴，则OC⊥平面SEF，延长SC交底面圆于点A，连结AB
∵△SEF是等边三角形，∠HEF就是α与底面所成角
∴由∠HEF==∠SEF，得FH⊥SE
Rt△EFH中，FH=EFcos=4×=6，即椭圆的长轴2a=6
∵GH是△SBE的中位线，得GHBE
∴结合△OBF≌△OGH，得BF=GH=BE，可得BF=EF=
设M为底面圆的圆心，则可得BM=EF=
∴⊙M中，可得AB===
∵△SAB中，OC∥AB且
∴，可得OC=AB=，椭圆的短半轴b=
因此，椭圆的半焦距c==，椭圆的离心率e==
故选：C
点评：本题给出圆锥的轴截面为正三角形，求与底面成30度角的平面截圆锥的侧面所得椭圆的离心率．着重考查了椭圆的定义与简单几何性质、圆锥的几何性质和平面几何有关计算等知识，属于中档题．