Question

【题目】已知正项数列{an}的前n项和为Sn ， 且 = ，a1=m，现有如下说法： ①a2=5；
②当n为奇数时，an=3n+m﹣3；
③a2+a4+…+a2n=3n2+2n．
则上述说法正确的个数为（ ）
A.0个
B.1个
C.2个
D.3个

Answer 1

【答案】D
【解析】解： = ，a1=m，

∴（an+1+1）（an+1）=6（Sn+n），①n=1时，（a2+1）×（m+1）=6（m+1），∵m+1＞0时，∴a2=5．②n≥2时，（an+1）（an﹣1+1）=6（Sn﹣1+n﹣1），

∴（an+1）（an+1﹣an﹣1）=6an+6，an＞0，

∴an+1﹣an﹣1=6．

∴当n=2k﹣1（k∈N*）为奇数时，数列{a2k﹣1}为等差数列，∴an=a2k﹣1=m+（k﹣1）×6=3n+m﹣3．③当n=2k（k∈N*）为偶数时，数列{a2k}为等差数列，∴an=a2k=5+（k﹣1）×6=3n﹣1．

∴a2+a4+…+a2n=6×（1+2+…+n）﹣n= ﹣n=3n2+2n．

因此①②③都正确．

故选：D．

【考点精析】认真审题，首先需要了解数列的前n项和(数列{an}的前n项和sn与通项an的关系)．