Question

已知等差数列{a_n}为递增数列，且a₂，a₅是方程x²-12x+27=0的两根，数列{b_n}的前n项和S_n满足S_n=

3n-1

2

．
（1）求数列{a_n}和{b_n}的通项公式； 
（2）若c_n=

an(n为奇数) bn(n为偶数)

，求数列{c_n}的前2n+1项和T_2n+1．

Answer 1

考点：数列的求和

专题：等差数列与等比数列

分析：（1）利用题中的已知条件分别用解方程和递推关系式求数列的通项公式．注意对首项的验证．
（2）根据（1）的结论利用分类的方法进行求和，注意数列的项数．

解答： 解：（1）等差数列{a_n}为递增数列，且a₂，a₅是方程x²-12x+27=0的两根，
解方程x²-12x+27=0
解得：x₁=3，x₂=9
由题意得：a₁=3，a₂=9
进而求得：a_n=2n-1．
由S_n=

3n-1

2

当n=1时，b₁=S₁=1；
当n≥2时，bn=Sn-Sn-1=

3n-1

2

-

3n-1-1

2

=3^n-1．又因为b₁=1适合公式，
所以bn=3n-1．
（2）因为c_n=

an(n为奇数) bn(n为偶数)

，
所以：T_n=c₁+c₂+c₃+…+c_2n+c_2n+1
=a₁+b₂+a₃+b₄+…+b_2n+a_2n+1
=（a₁+a₃+…+a_2n+1）+（b₂+b₄+…+b_2n）
=

(n+1)(a1+a2n+1)

2

+

b2-9b2n

1-9

=(n+1)(2n+1)+

32n+1-3

8

点评：本题考查的知识要点：等差和等比数列通项公式的求法，用分类求和的方法求数列的前n项和，属于基础题型．