Question

（本小题满分14分）
已知函数．
（1）当时，求曲线在点处的切线方程；
（2）当时，讨论的单调性.

Answer 1

（1） ；（2）当时，函数在上单调递增；函数在上单调递减；当时，函数在上单调递增；
当时，函数在，上单调递增；函数在上单调递减

本试题主要是考查了导数的几何意义的运用，以及函数单调性的判定的综合运用。
（1）因为当时，，x∈(0，+∞)，
∴，，，进而得到切线方程。
（2）∵，
∴，x∈(0，+∞)，
令，x∈(0，+∞).，对于参数a分情况讨论得到结论。
解：（1）当时，，x∈(0，+∞)， ……1分
∴，，，……4分
所以切线方程为 ……5分
（2）∵，
∴，x∈(0，+∞)，……7分
令，x∈(0，+∞).
① 当时，，x∈(0，+∞)，所以
当时，，此时，函数在上单调递增；
当时，，此时，函数在上单调递减；……9分
② 当时，由，解得，.
ⅰ）若，，即恒成立，函数在上单调递增； ……11分
ⅱ）若，则，
当时，，此时，函数在上单调递增；
当时，，此时，函数在上单调递减；
当时，，此时，函数在上单调递增；
……14分
综上所述：当时，函数在上单调递增；函数在上单调递减；
当时，函数在上单调递增；
当时，函数在，上单调递增；函数在上单调递减
……14分