Question

已知

a

=(x， 0)，

b

=(1， y)，且(

a

+

3

b

)⊥(

a

-

3

b

)．
（1）求点P（x，y）的轨迹C的方程，且画出轨迹C的草图；
（2）若直线l：y=kx+m（k≠0）与上述曲线C交于不同的两点A、B，求实数k和m所满足的条件；
（3）在（2）的条件下，若另有定点D（0，-1），使|AD|=|BD|，试求实数m的取值范围．

Answer 1

分析：（1）利用几何条件(

a

+

3

b

)•(

a

-

3

b

)=0列方程，即可求得点P（x，y）的轨迹C的方程，画图时注意：不画渐近线不得分
（2）将直线方程代入曲线方程，所得一元二次方程二次项系数不为零，判别式△＞0，列不等式即可得实数k和m所满足的条件；
（3）设出A、B的坐标，利用韦达定理，可得AB中点H的坐标（用k、m表示），因为|AD|=|BD|，所以AB⊥DH，k_AB•k_DH=-1，即可得k与m的等量关系，进而利用k的范围求得m的范围．

解答：解：（1）(

a

+

3

b

)⊥(

a

-

3

b

)⇒(

a

+

3

b

)•(

a

-

3

b

)=0
⇒

a

2=3

b

2⇒x²=3（y²+1）
∴P（x，y）的轨迹C的方程为

x2

3

-y2=1
其草图如右． （注：不画渐近线，不得分）
（2）

y=kx+m x2-3y2-3=0

⇒(1-3k2)x2-6kmx-3m2-3=0

1-3k2≠0 △＞0

⇒

3k2≠1(k≠0) 3k2＜m2+1

（*）
（3）设A（x₁，y₁）、B（x₂，y₂），A、B中点为H（x₀，y₀），
则x0=

x1+x2

2

=

3km

1-3k2

，y0=kx0+m=

m

1-3k2

，
由题意，有AB⊥DH⇒k_AB•k_DH=-1
⇒k•

m 1-3k2 +1

3km 1-3k2

=-1                                      
⇒3k²=4m+1，
代入（*），得

4m+1≠1 4m+1＞0 4m+1＜m2+1

⇒-

1

4

＜m＜0或m＞4．

点评：本题综合考查了曲线与方程，直线与双曲线的关系，特别是直线与双曲线的相交情形，解题时要善于将几何条件转化为代数条件，用代数方法解决几何问题