Question

设x，y满足约束条件

4x-y+4≥0 8x+y-16≤0 x≥0，y≥0

，若目标函数z=ax+by（8b＞a＞0）的最大值为5，则

1

a

+

2

b

的最小值为（　　）

• A、5
• B、6
• C、7
• D、8

Answer 1

分析：先根据条件画出可行域，设z=ax+by，再利用几何意义求最值，将最大值转化为y轴上的截距，只需求出直线z=ax+by，过可行域内的点（4，6）时取得最大值，从而得到一个关于a，b的等式，最后利用基本不等式求最小值即可．

解答：解：不等式表示的平面区域如图所示阴影部分，
当直线ax+by=z（a＞0，b＞0）过直线4x-y+4=0与直线8x+y-16=0的交点（1，8）时，
目标函数z=ax+by（a＞0，b＞0）取得最大5，
即a+8b=5，
而  (

1

a

+

2

b

)

a+8b

5

=

1

5

[17+

8b

a

+

2a

b

)]≥5≥5．
则

1

a

+

2

b

的最小值为5，
故选A．

点评：本题主要考查了基本不等式在最值问题中的应用、简单的线性规划，以及利用几何意义求最值，属于基础题．本题要求能准确地画出不等式表示的平面区域，并且能够求得目标函数的最值．