Question

已知函数.

　　（Ⅰ）设{a_n}是正数组成的数列，前n项和为S_n，其中a₁=3.若点(n∈N*)在函数y=f′(x)的图象上，求证：点（n,S_n）也在y=f′(x)的图象上；

　　（Ⅱ）求函数f(x)在区间（a-1,a）内的极值.

Answer 1

本小题主要考查函数极值、等差数列等基本知识，考查分类与整合、转化与化归等数学思想方法，考查分析问题和解决问题的能力.

    (Ⅰ)证明：因为所以,

由点在函数y=f′(x)的图象上,

得=，即，

又所以，又因为a₁=3，

所以数列{a_n}是以3为首项，公差为2的等差数列。

    所以,又因为f′(x)=n²+2n,所以,

    故点也在函数y=f′(x)的图象上.

(Ⅱ)解:,

由得.当x变化时,﹑的变化情况如下表:

 

x	(-∞,-2)	-2	(-2,0)	0	(0,+∞)
f′(x)	+	0	-	0	+
f(x)	↗	极大值	↘	极小值	↗

注意到,从而

①当,此时无极小值；

②当的极小值为,此时无极大值；

③当既无极大值又无极小值.