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    过双曲线-=1(a>0,b>0)的一个焦点F作x轴的垂线,交双曲线的一支于P、Q两点,又过F作一直线平行于双曲线的一条渐近线,交双曲线于R,求证:|PQ|=4|FR|.

    证明:设F点的坐标为(c,0),?

    将x=c代入双曲线方程-=1,

    得y2=,

    ∴|PQ|=.

    过点F(c,0)且与双曲线的渐近线bx+ay=0平行的直线为y=-(x-c),?

    代入双曲线方程,得- =1.

    解之得x=,代入y=-(x-c),

    得y=- (-c),即y=-.

    ∴|FR|2=(x-c)2+y2=(-c)2+

    = +=·(1+)

    =·=.

    故|FR|=,∴|PQ|=4|FR|.

    温馨提示:证|PQ|等于4|FR|,需用双曲线的基本量a、b表示它们.

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