Question

1．如图，点O为△ABC的重心，OA⊥OB，且AB=2，则$\overrightarrow{AC}$•$\overrightarrow{BC}$的值为8．

Answer 1

分析 取三角形三边中点，用三边向量表示出$\overrightarrow{AO}，\overrightarrow{BO}$，根据向量垂直列方程化简即可得出答案．

解答 解：延长AO交BC于D，延长CO交AB于E，延长BO交AC于F
∵O是△ABC的重心，∴D，E，F分别是BC，AB，AC的中点，
∴$\overrightarrow{AO}=\frac{2}{3}\overrightarrow{AD}=\frac{1}{3}（\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}）$，
$\overrightarrow{BO}=\frac{2}{3}\overrightarrow{BF}$=$\frac{1}{3}$（$\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{BC}$），
∵OA⊥OB，∴$\overrightarrow{AO}•\overrightarrow{BO}=0$，即（$\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}$）•（$\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{BC}$）=0，
∴-${\overrightarrow{AB}}^{2}$+$\overrightarrow{AB}•\overrightarrow{BC}$+$\overrightarrow{AC}•\overrightarrow{BA}$+$\overrightarrow{AC}•\overrightarrow{BC}$=0，
∴-${\overrightarrow{AB}}^{2}$+$\overrightarrow{AB}$•（$\overrightarrow{BC}-\overrightarrow{AC}$）+$\overrightarrow{AC}•\overrightarrow{BC}$=0，
∴-2${\overrightarrow{AB}}^{2}$+$\overrightarrow{AC}•\overrightarrow{BC}$=0，
∴$\overrightarrow{AC}•\overrightarrow{BC}$=2${\overrightarrow{AB}}^{2}$=8．
故答案为：8．

点评 本题考查了平面向量的基本定理，平面向量的数量积运算，属于中档题．