Question

在△ABC中，AC=10，过顶点C作AB的垂线，垂足为D，AD=5，且满足

AD

=

5

11

DB

．
（1）求|

AB

-

AC

|；
（2）存在实数t≥1，使得向量x=

AB

+t

AC

 ， y=t

AB

+

AC

，令k=x•y，求k的最小值．

Answer 1

分析：（1）将向量问题转化为边的长度，然后利用勾股定理，即可求解；
（2）先求cosA，再利用向量的数量积公式进行化简，得到二次函数，从而可求最小值．

解答：解：（1）∵AD=5，且满足

AD

=

5

11

DB

．
∴A，B，D三点共线，且DB=11
在Rt△ADC中，CD²=AC²-AD²=75，
在Rt△BDC中，BC²=DB²+CD²=196，∴BC=14
∴|

AB

-

AC

|=|

CB

|=14；
（2）由（1），利用余弦定理，可得cosA=

256+100-196

2•16•10

=

1

2

∵

x

=

AB

+t

AC

 ， 

y

=t

AB

+

AC

∴k=

x

•

y

=t|

AB

|2+(t2+1)

AC

•

AB

+t|

AC

|2=80t²+356t+80
∵t≥1，
∴t=1时，k取得最小值为516．

点评：本题考查向量知识，考查向量的数量积公式，考查二次函数的最值，正确运用向量的数量积公式是关键．