Question

设0＜b＜a＜

π

2

，求证：

sina

sinb

＜

a

b

＜

tana

tanb

．

Answer 1

考点：利用导数研究函数的单调性,不等式的基本性质

专题：导数的综合应用

分析：令f（x）=tanx-x，x∈(0，

π

2

)．利用导数研究其单调性可得函数f（x）在x∈(0，

π

2

)上单调递增，即tanx＞x．同理可证：sinx＜x，x∈(0，

π

2

)．再令g（x）=

tanx

x

，x∈(0，

π

2

)．利用导数研究其单调性可得函数函数g（x）在x∈(0，

π

2

)上单调递增，同理可证：函数y=

sinx

x

在x∈(0，

π

2

)上单调递减．即可证明．

解答： 证明：令f（x）=tanx-x，x∈(0，

π

2

)．
则f′（x）=

1

cos2x

-1＞0，∴函数f（x）在x∈(0，

π

2

)上单调递增，
∴f（x）＞f（0）=0，即tanx＞x．
同理可证：sinx＜x，x∈(0，

π

2

)．
再令g（x）=

tanx

x

，x∈(0，

π

2

)．
则g′(x)=

x cos2x -tanx

x2

=

x-sinxcosx

x2

＞

x-sinx

x2

＞0，
∴函数g（x）在x∈(0，

π

2

)上单调递增，
同理可证：函数y=

sinx

x

在x∈(0，

π

2

)上单调递减．
∵0＜b＜a＜

π

2

，
∴

sina

a

＜

sinb

b

，

tanb

b

＜

tana

a

，
∴

sina

sinb

＜

a

b

＜

tana

tanb

．

点评：本题考查了通过构造函数利用导数研究其单调性证明不等式的方法，考查了推理能力与计算能力，属于难题．