Question

【题目】已知各项均为正数的数列{an}的首项a1=1，Sn是数列{an}的前n项和，且满足：anSn+1﹣an+1Sn+an﹣an+1= anan+1 ， 则 S12= ．

Answer 1

【答案】3
【解析】解：∵anSn+1﹣an+1Sn+an﹣an+1= anan+1 ， 且Sn+1=Sn+an+1 ， ∴（an﹣an+1）Sn+ anan+1+an﹣an+1=0，
∴Sn+ +1=0；
又∵a1=1，令n=1，则1+ +1=0，解得a2= ，
同理可得a3= ，
猜想an= ；
下面利用数学归纳法证明：
② 当n=1时，a1= =1，成立；
②假设当n≤k（k∈N*）时成立，ak= ，则Sk= = ；
∵Sk+ +1=0，
∴ + +1=0，
解得ak+1= ；
因此当n=k+1时也成立，
综上，对于n∈N* ， an= 都成立；
由等差数列的前n项和公式得，Sn= ；
∴ S12= × =3．
【考点精析】关于本题考查的等比数列的通项公式（及其变式）和等比数列的前n项和公式，需要了解通项公式：；前项和公式：才能得出正确答案．