Question

（2007•烟台三模）已知向量

a

=（1，1），向量

b

与向量

a

的夹角为

3

4

π，且

a

•

b

=-1．
（1）求向量

b

；
（2）若向量

b

与

q

=（1，0）的夹角为

π

2

，向量

p

=（cosA，2cos²

C

2

），其中A，C为△ABC的内角，且A+C=

2

3

π，求|

b

+

p

|的最小值．

Answer 1

分析：（1）设

b

=（x，y），由

a

•

b

=-1，可得x+y=-1．再由

a

•

b

=|

a

||

b

|cos

3π

4

，化简可得 x²+y²=1，求得x、y的值，可得

b

的值．
（2）由条件可得

b

=（0，-1），又因为

b

+

q

=（cosA，cosC），求得|

b

+

q

|²=1+

1

2

cos（2A+

π

3

）．结合A的范围，可得|

b

+

p

|取得最小值．

解答：解：（1）设

b

=（x，y），

a

•

b

=-1，可得x+y=-1．  ①…（2分）
又

b

与

a

的夹角为

3π

4

，所以

a

•

b

=|

a

||

b

|cos

3π

4

，化简可得 x²+y²=1． ②
由①②解得

x=-1 y=0

，或

x=0 y=-1

，
故

b

=（-1，0），或

b

=（-1，0）．…（6分）
（2）由向量

b

与

q

垂直知

b

=（0，-1），由 A+C=

2π

3

可得 0＜A＜

2π

3

．…（8分）
又因为

b

+

q

=（cosA，2cos2

C

2

-1）=（cosA，cosC），
所以|

b

+

q

|²=cos²A+cos²C=

1+cos2A

2

+

1+cos2C

2

=1+

1

2

[cos2A+cos（

4π

3

-2A）]
=1+

1

4

cos2A-

3

4

sin2A=1+

1

2

cos（2A+

π

3

）．
再由

π

3

＜A+

π

3

＜

5π

3

，可得当A+

π

3

=π时，|

b

+

p

|取得最小值为

1- 1 2

=

2

2

．

点评：本题主要考查两个向量的数量积公式，三角函数的恒等变换及化简求值，属于中档题．