Question

设x，y满足约束条件

13x-5y-22≤0 x-y+2≥0 x≥0，y≥0

，若目标函数z=ax+by（a＞0，b＞0）最大值为6，则

1

a

+

1

b

的最小值为（　　）

• A．

  7

  3

• B．

  1

  3

  (5+

  6

  )
• C．

  1

  3

  (5+2

  6

  )
• D．5+

  6

Answer 1

分析：可以作出不等式的平面区域，根据目标函数z=ax+by（a＞0，b＞0）的最大值为6，得到2a+3b=3，再利用基本不等式解答

1

a

+

1

b

的最小值．

解答：解：不等式表示的平面区域如图所示阴影部分，
当直线ax+by=z（a＞0，b＞0）
过直线x-y+2=0与直线13x-5y-22=0的交点A（4，6）时，
目标函数z=ax+by（a＞0，b＞0）取得最大6，
∴4a+6b=6⇒2a+3b=3．
∴

1

a

+

1

b

=（

1

a

+

1

b

）×

2a+3b

3

=

1

3

（5+

3b

a

+

2a

b

）≥

1

3

（5+2

6

），当

3b

a

=

2a

b

时取等号．
则

1

a

+

1

b

的最小值为

1

3

（5+2

6

）．
故选C．

点评：本题综合地考查了线性规划问题和由基本不等式求函数的最值问题．要求能准确地画出不等式表示的平面区域，并且能够求得目标函数的最值．