Question

（2006•朝阳区一模）设函数f（x）=ax³+cx（a，c∈R），当x=1时，f（x）取极小值-

2

3

．
（Ⅰ）求f（x）的解析式；
（Ⅱ）若x₁，x₂∈[-1，1]时，求证：|f(x1)-f(x2)|≤

4

3

．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由题意可得f′(1)=0，f(1)=-

2

3

，得a，c的方程组，解出即得a，c；
（Ⅱ）只需证明|f（x₁）-f（x₂）|≤f_max（x）-f_min（x）≤

4

3

；

解答：（I）解：∵f（x）=ax³+cx，∴fn（x）=3ax²+c，
∵在x=1时，f（x）取极小值-

2

3

，
∴

f′(1)=0 f(1)=- 2 3

，即

3a+c=0 a+c=- 2 3

，解得

a= 1 3 c=-1

，
∴f(x)=

1

3

x3-x；
（II）证明：∵f′（x）=x²-1，令f′（x）=0，得x=±1，
∵x∈（-∞，-1）或x∈（1，+∞）时，f′（x）＞0；x∈（-1，1）时，f′（x）＜0，
∴f（x）在[-1，1]上是减函数，且fmax(x)=f(-1)=

2

3

，fmin(x)=f(1)=-

2

3

，
∴在[-1，1]上|f(x)|≤

2

3

，
故|f（x₁）-f（x₂）|≤f_max（x）-f_min（x）=

2

3

-(-

2

3

)=

4

3

．

点评：本题考查利用函数在某点取得极值的条件、利用导数求函数的最值，考查转化思想，解决（II）问的关键是转化为函数最值解决．