Question

已知数列{a_n}，其前n项和S_n满足S_n+1=2S_n+1，且a₁=1．
（Ⅰ）求数列{a_n}的通项公式a_n；
（Ⅱ）求数列{na_n}的前n项和T_n．

Answer 1

解：（Ⅰ）∵S_n+1=2S_n+1，
∴S_n+1+1=2（S_n+1），
∴数列{S_n+1}是以2为首项，2为公比的等比数列
∴S_n+1=2×2^n-1
∴S_n=2ⁿ-1
∴a_n=S_n-S_n-1=2^n-1（n≥2）
n=1时，a₁=1也满足上式，
∴a_n=2^n-1；
（Ⅱ）数列{na_n}的前n项和T_n=1×2⁰+2×2¹+…+n×2^n-1，①
2T_n=1×2¹+2×2²+…+n×2ⁿ，②
①-②整理得T_n=（n-1）2ⁿ+1
分析：（Ⅰ）先求S_n，再借助项与和关系a_n=S_n-S_n-1，可确定数列的通项；
（2）利用错位相减法，可求数列的和．
点评：本题考查数列递推式，考查项与和关系，考查数列的通项与求和，正确运用求和公式是关键．