Question

11．已知函数f（x）=|2x-1|+x+$\frac{1}{2}$的最小值为m．
（1）求m的值；
（2）若a，b，c是正实数，且a+b+c=m，求证：2（a²+b²+c²）≥ab+bc+ca-3abc．

Answer 1

分析 （1）写出分段函数，即可求m的值；
（2）利用作差法，即可证明．

解答 （1）解：$f（x）=|{2x-1}|+x+\frac{1}{2}=\left\{{\begin{array}{l}{3x-\frac{1}{2}，x≥\frac{1}{2}}\\{-x+\frac{3}{2}，x＜\frac{1}{2}}\end{array}}\right.$，
所以$f{（x）_{min}}=f（{\frac{1}{2}}）=1$，即m=1．
（2）证明：由于a³+b³-a²b-ab²=（a²-b²）（a-b）=（a-b）²（a+b）≥0，
由于a+b+c=1，所以a³+b³≥a²b+ab²=ab（a+b）=ab（1-c）=ab-abc，
同理可证：b³+c³≥bc-abc，c³+a³≥ca-abc，
三式相加得2（a³+b³+c³）≥ab+bc+ca-3abc．

点评 本题考查分段函数，考查不等式的证明，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．