Question

已知角α∈（

π

4

，

π

2

），且（4cosα-3sinα）（2cosα-3sinα）=0．
（1）求tan（α+

π

4

）的值；
（2）求cos（

π

3

-2α）的值．

Answer 1

考点：二倍角的余弦,二倍角的正弦

专题：三角函数的求值

分析：（1）由条件利用同角三角函数的基本关系求得tanα的值，再利用两角和的正切公式求得tan（α+

π

4

）的值．
（2）由tanα=

4

3

，可得cos2α和sin2α 的值，从而求得cos（

π

3

-2α）=cos

2π

3

 cos2α+sin

2π

3

sin2α 的值．

解答： 解：（1）由角α∈（

π

4

，

π

2

），可得tanα＞1．
再根据（4cosα-3sinα）（2cosα-3sinα）=0，求得tanα=

2

3

 （舍去），或tanα=

4

3

，
∴tan（α+

π

4

）=

tanα+tan π 4

1-tanα•tan π 4

=

4 3 +1

1- 4 3 ×1

=-7．
（2）由tanα=

4

3

，可得cos2α

cos2α-sin2α

cos2α+sin2α

=

1-tan2α

1+tan2α

=

1- 16 9

1+ 16 9

=-

7

25

，
sin2α=

2sinαcosα

sin2α+cos2α

=

2tanα

tan2α+1

=

8 3

1+ 16 9

=

24

25

，
cos（

π

3

-2α）=cos

2π

3

 cos2α+sin

2π

3

sin2α=-

1

2

×（-

7

25

）+

3

2

×

24

25

=

24 3 -7

25

．

点评：本题主要考查同角三角函数的基本关系的应用，两角和的正切公式、二倍角公式的应用，属于基础题．