Question

16．设过曲线f（x）=-e^x-x（e为自然对数的底数）上的任意一点的切线l₁，总存在过曲线g（x）=mx-3sinx上的一点处的切线l₂，使l₁⊥l₂，则m的取值范围为[-2，3]．

Answer 1

分析 求得f（x）的导数，设（x₁，y₁）为f（x）上的任一点，可得切线的斜率k₁，求得g（x）的导数，设g（x）图象上一点（x₂，y₂）可得切线l₂的斜率为k₂，运用两直线垂直的条件：斜率之积为-1，分别求y=m-3cosx₂的值域A，y=$\frac{1}{{e}^{{x}_{1}}+1}$值域B，由题意可得B⊆A，可得a的不等式，可得a的范围．

解答 解：f（x）=-e^x-x的导数为f′（x）=-e^x-1，
设（x₁，y₁）为f（x）上的任一点，
则过（x₁，y₁）处的切线l₁的斜率为k₁=-e^x₁-1，
g（x）=mx-3sinx的导数为g′（x）=m-3cosx，
过g（x）图象上一点（x₂，y₂）处的切线l₂的斜率为k₂=m-3cosx₂．
由l₁⊥l₂，可得（-e^x₁-1）•（m-3cosx₂）=-1，
即m-3cosx₂=$\frac{1}{{e}^{{x}_{1}}+1}$，
任意的x₁∈R，总存在x₂∈R使等式成立．
则有y=m-3cosx₂的值域为A=[m-3，m+3]．
y=$\frac{1}{{e}^{{x}_{1}}+1}$的值域为B=（0，1），
有B⊆A，即（0，1）⊆[m-3，m+3]．
即$\left\{\begin{array}{l}{m-3≤0}\\{m+3≥1}\end{array}\right.$，
解得-2≤a≤3．
故答案为：[-2，3]．

点评 本题考查导数的运用：求切线的斜率，考查两直线垂直的条件：斜率之积为-1，考查任意存在性问题的解法，注意运用转化思想和值域的包含关系，考查运算能力，属于中档题．