Question

（1）求经过点P（-3，2

7

）和Q（-6

2

，-7）的双曲线的标准方程；
（2）已知动圆M经过点A（3，0），且与直线l：x=-3相切，求动圆圆心M的轨迹方程．

Answer 1

分析：（1）设双曲线的方程为mx²+ny²=1（mn＜0），根据题意建立关于m、n的方程组，解出m、n之值即可得到所求双曲线的标准方程．
（2）根据直线与圆相切的性质，结合题意可得动点M到定点A和定直线l的距离相等，所以点M的轨迹是以A为焦点、直线l为准线抛物线，再利用抛物线的标准方程及基本概念，可算出动圆圆心M的轨迹方程．

解答：解：（1）设双曲线的方程为mx²+ny²=1（mn＜0），
∵点（-7，6

2

）、（2

7

，3）在双曲线上，
∴

m×(-3)2+n×(2 7 )2=1 m×(-6 2 )2+n×(-7)2=1

，解得

m=- 1 75 n= 1 25

，
由此可得所求双曲线的标准方程为

y2

25

-

x2

75

=1．
（2）设动点M（x，y），
设⊙M与直线l：x=-3的切点为N，可得MN⊥l且|MA|=|MN|，
∴动点M到定点A和定直线l：x=-3的距离相等，
由抛物线的定义，可得点M的轨迹是以A（3，0）为焦点、x=-3为准线抛物线，
∴

p

2

=3，可得2p=12，抛物线的方程为y²=12x，即为动圆圆心M的轨迹方程．

点评：本题求满足条件的双曲线方程和动圆圆心的轨迹．着重考查了直线与圆的位置关系、抛物线的定义与标准方程和双曲线标准方程的求法等知识，属于中档题．