Question

20．已知椭圆方程为$\frac{{x}^{2}}{8}+\frac{{y}^{2}}{2}=1$，过椭圆上一点P（2，1）作切线交y轴于N，过P的另一条直线交y轴于M，若△PMN是以MN为底边的等腰三角形，则直线PM的方程为（　　）

• A． y=$\frac{3}{2}x-2$
• B． y=$\frac{1}{2}x$
• C． y=-2x+5
• D． y=$\frac{2}{3}x-\frac{1}{3}$

Answer 1

分析 如图所示，设点P（2，1）作切线PN，设切线方程为：y-1=k（x-2），与椭圆方程联立可得（1+4k²）x²+8k（1-2k）x+4（1-2k）²-8=0，令△=0，解得k=-$\frac{1}{2}$．可得切线PN的方程为：y=-$\frac{1}{2}$x+2，可得N坐标，即可得出M的坐标，可得直线PM的方程．

解答 解：如图所示，
设点P（2，1）作切线PN，设切线方程为：y-1=k（x-2），
联立$\left\{\begin{array}{l}{y-1=k（x-2）}\\{{x}^{2}+4{y}^{2}=8}\end{array}\right.$，化为（1+4k²）x²+8k（1-2k）x+4（1-2k）²-8=0，
∵△=64k²（1-2k）²-4（1+4k²）[4（1-2k）²-8]=0，
化为（2k+1）²=0，
解得k=-$\frac{1}{2}$．
∴切线PN的方程为：y=-$\frac{1}{2}$x+2，
令x=0，解得y=2，
∴N（0，2）．
过点P作PD⊥y轴，垂足为D（0，1）．
∵△PMN是以MN为底边的等腰三角形，
∴N（0，0），即与原点O重合．
∴直线PM的方程为：$y=\frac{1}{2}x$，
故选：B．

点评 本题考查了椭圆的标准方程及其性质、椭圆的切线的性质、等腰三角形的性质、直线的方程，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．