Question

（2009•成都二模）过双曲线

x2

a2

-

y2

b2

=1(b＞a＞0)的左焦点F（-c，0）（c＞0）作圆x²+y²=a²的切线，切点为E，延长FE交抛物线y²=4cx于点P．若

OE

=

1

2

(

OF

+

OP

)，则双曲线的离心率为（　　）

• A．

  3+ 3

  2

• B．

  1+ 5

  2

• C．

  5

  2

• D．

  1+ 3

  2

Answer 1

分析：先设双曲线的右焦点为F'，则F'的坐标为（c，0），因为抛物线为y²=4cx，所以F'为抛物线的焦点，O为FF'的中点，又可得E为FP的中点，所以OE为△PFF'的中位线，得到|PF|=2b，再设P（x，y） 过点F作x轴的垂线，由勾股定理得出关于a，c的关系式，最后即可求得离心率．

解答：解：设双曲线的右焦点为F'，则F'的坐标为（c，0）
∵抛物线为y²=4cx，
∴F'为抛物线的焦点，O为FF'的中点，
∵

OE

=

1

2

(

OF

+

OP

)
∴E为FP的中点
∴OE为△PFF'的中位线，
∵O为FF'的中点
∴OE∥PF'
∵|OE|=a
∴|PF'|=2a
∵PF切圆O于E
∴OE⊥PF
∴PF'⊥PF，
∵|FF'|=2c
∴|PF|=2b
设P（x，y），则x+c=2a，∴x=2a-c
过点F作x轴的垂线，则点P到该垂线的距离为2a
由勾股定理 y²+4a²=4b²
∴4c（2a-c）+4a²=4（c²-a²）
∴e²-e-1=0
∵e＞1
∴e=

5 +1

2

．
故选B．

点评：本题主要考查双曲线的标准方程，以及双曲线的简单性质的应用等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想、化归与转化思想．属于中档题．