Question

已知1是a²，b²的等比中项，又是

1

a

，

1

b

的等差中项，则

a+b

a2+b2

的值是

 

．

Answer 1

分析：由题设条件可知，a²b²=1，

1

a

+

1

b

=2，由此能够导出，

a+b

a2+b2

=

2ab

4-2ab

；可得ab=±1．又由

a+b

a2+b2

=

2ab

4-2ab

，分别将ab=1与ab=-1代入可得答案．

解答：解：由题意知a²b²=1，

1

a

+

1

b

=2，∴

a+b

ab

=2，∴

a2+b2+2ab

a2b2

=4，
∴a²+b²=4-2ab，a+b=2ab，∴

a+b

a2+b2

=

2ab

4-2ab

．
由a²b²=1知ab=±1．
当ab=1时，

a+b

a2+b2

=

2ab

4-2ab

=

2

4-2

=1．
当ab=-1时，

a+b

a2+b2

=

2ab

4-2ab

=

-2

4+2

=-

1

3

．
故

a+b

a2+b2

的值是1或-

1

3

．
答案：1或-

1

3

．

点评：本题考查数列的性质及其应用，解题时要熟练掌握公式的灵活运用．