Question

直线l:y=kx+1与双曲线C:2x²-y²=1的右支交于不同的两点A、B.

(1)求实数k的取值范围.

(2)是否存在实数k,使得以线段AB为直径的圆经过双曲线C的右焦点F₂?若存在,求出k的值;若不存在,请说明理由.

Answer 1

解:(1)由得(k²-2)x²+2kx+2=0(*).这个关于x的二次方程有两个不等正根.

∴-2＜k＜-.

故所求k的取值范围为-2＜k＜-.

(2)设A、B两点的坐标分别为(x₁,y₁)、(x₂,y₂).

则由(*)得

若存在实数k,使得以线段AB为直径的圆经过双曲线C的右焦点F₂(c,0),

则,即(x₁-c)·(x₂-c)+y₁y₂=0,

即x₁x₂-c(x₁+x₂)+c²+(kx₁+1)(kx₂+1)=0.

得(k²+1)x₁x₂+(k-c)(x₁+x₂)+c²+1=0.                                               （2）

将（1）代入（2）中得(k²+1)·+(k-c)·+c²+1=0.

又c²=,

∴5k²+2k-6=0,得k=-或k=(-2,-).

由此,k=-即为所求.

故存在实数k=-使原命题成立.