Question

已知向量=（cosx，sinx），=（cosx，cosx），若f（x）=•-．
（1）写出函数f（x）图象的一条对称轴方程；
（2）求函数f（x）在区间[0，]上的值域．

Answer 1

解：（1）∵向量=（cosx，sinx），=（cosx，cosx），
∴•=cos²x+sinxcosx=（1+cos2x）+sin2x=sin（2x+）+
由此可得f（x）=•-=[sin（2x+）+]-=sin（2x+）
∵令2x+=+kπ（k∈Z），得x=+kπ（k∈Z）
∴取k=0，得函数y=sin（2x+）图象的一条对称轴方程为x=
即函数y=f（x）图象的一条对称轴方程为x=．
（2）由（1）得f（x）=sin（2x+）
∵x∈[0，]，得2x+∈[，]
∴当2x+=时，即x=时，f（x）有最大值为1；
当2x+=时，即x=时，f（x）有最小值为-
因此，可得函数f（x）在区间[0，]上的值域为[-，1]．
分析：（1）根据向量的数量积的坐标运算公式，结合二倍角公式和辅助角公式化简整理得f（x）=sin（2x+），再根据正弦函数图象对称轴方程的公式，即可得到函数f（x）图象的一条对称轴方程；
（2）由（1）得f（x）=sin（2x+），而x∈[0，]时2x+∈[，]，结合正弦函数的图象与性质得到函数的最大值为f（）=1，最小值为f（）=-．由此即可得出函数f（x）在区间[0，]上的值域．
点评：本题以向量数量积为载体，求函数的值域和图象的对称轴方程．着重考查了向量数量积坐标运算公式、三角恒等变换和三角函数的图象与性质等知识，属于中档题．