Question

设函数f(x)=a1+a2x+a3x2+…+anxn-1，f(0)=

1

2

，数列{a_n}满f(1)=n2an(n∈N*)，则数列{a_n}的前n项和S_n等于

n

n+1

．

Answer 1

分析：首先根据题干条件求出a₁的值，然后根据f（1）=n²•a_n，得到a₁+a₂+a₃+…+a_n=n²•a_n，最后根据当n≥2时，a_n=S_n-S_n-1=n²•a_n-（n-1）²•a_n-1求出数列{a_n}的通项

解答：解：∵函数f（x）=a₁+a₂x+a₃x²+…+a_nx^n-1，
∴f（0）=a₁=

1

2

，f（1）=a₀+a₁+…+a_n
∵f（1）=n²•a_n，
∴S_n=a₁+a₂+a₃+…+a_n=n²•a_n，
又∵a_n=S_n-S_n-1=n²•a_n-（n-1）²•a_n-1，
∴（n²-1）a_n=（n-1）²•a_n-1（n≥2），
则

an

an-1

=

n2-1

(n-1)2

=

n+1

n-1

利用叠乘可得，

a2

a1

•

a3

a2

•

a4

a3

…

an

an-1

=

1

3

×

2

4

×…×

n-2

n

×

n-1

n+1

，
∴

an

an-1

=

1

3

×

2

4

×…×

n-2

n

×

n-1

n+1

，
∴a_n=

1

n(n+1)

，
故答案为

1

n(n+1)

．

点评：本题主要考查数列递推式的应用，解答本题的关键是由（n²-1）a_n=（n-1）²•a_n-1，利用叠乘法求解通项公式，此题难度一般．