Question

如图，在棱长为1的正方体ABCD﹣A₁B₁C₁D₁中，P是AC与BD的交点，M是CC₁的中点．
（1）求证：A₁P⊥平面MBD；
（2）求直线B₁M与平面MBD所成角的正弦值；
（3）求平面ABM与平面MBD所成锐角的余弦值．

Answer 1

解：（1）证明：如图，以D为坐标原点，向量，，为单位正交基向量，
建立空间直角坐标系D﹣xyz．则P（，，0），M（0，1，）．
=（﹣，，﹣1），=（1，1，0），=（0，1，），
所以=0，=0．
所以
又因为BD∩DM=D，
所以A₁P⊥平面MBD；
（2）由（1）可知，可取=（1，﹣1，2）为平面MBD的一个法向量．
又=（﹣1，1，），
所以cos＜，＞=
所以直线AM与平面MBD所成角的正弦值为．
（3）=（0，1，0），=（﹣1，0，）．
设₁=（x，y，z）为平面ABM的一个法向量，
则
解得即，故可取₁=（1，0，2）．
由（1）可知，可取=（1，﹣1，2）为平面MBD的一个法向量．
所以cos＜，₁＞==．
所以平面ABM与平面MBD所成锐角的余弦值为．