Question

（2010•聊城一模）如图，在三棱锥P-ABC中，已知PC⊥平面ABC，点C在平面PBA内的射影D在直线PB上．
（1）求证：AB⊥平面PBC；
（2）设AB=BC，直线PA与平面ABC所成的角为45°，求异面直线AP与BC所成的角；
（3）在（2）的条件下，求二面角C-PA-B的余弦值．

Answer 1

分析：（1）要证AB⊥平面PBC，可证AB⊥PC，AB⊥CD，由线面垂直的性质及点在面内射影的定义可证明；
（2）由PC⊥平面ABC，知∠PAC=45°，设AB=BC=1，则PC=AC=

2

，以B为原点建立空间直角坐标系，求出点B、A、C、P坐标，进而写出

AP

、

BC

的坐标，则异面直线AP与BC所成的角可转化为

AP

、

BC

的夹角计算，注意其与异面角间的关系；
（3）取AC的中点E，连结BE，易证

BE

是平面PAC的一个法向量．设平面PAB的一个法向量为

n

=（x，y，z），由

n

⊥

BA

，

n

⊥

AP

可求得

n

，从而二面角C-PA-B的余弦值可转化为两法向量的夹角余弦值，注意向量的夹角与二面角夹角的关系；

解答：证明：（1）由于PC⊥平面ABC，AB?平面ABC，所以AB⊥PC，
由于点C在平面PBA内的射影在直线PB上，
所以CD⊥平面PAB．
又因为AB?平面PBA，所以AB⊥CD．
因此AB⊥平面PCB．
解：（2）因为PC⊥平面ABC，
所以∠PAC为直线PC与平面ABC所成的角，
于是∠PAC=45°，设AB=BC=1，则PC=AC=

2

，
以B为原点建立如图所示空间直角坐标系，
则B（0，0，0），A（0，1，0），C（1，0，0），P(1，0，

2

)，

AP

=(1，-1，

2

)，

BC

=(1，0，0)，

BA

=(0，1，0)，
因为cos＜

AP

，

BC

＞=

AP • BC

| AP |•| BC |

=

1

2

，
所以异面直线AP与BC所成的角为60°；
（3）取AC的中点E，连结BE，则

BE

=(

1

2

，

1

2

，0)．
因为AB=BC，所以BE⊥AC．
又因为平面PCA⊥平面ABC，所以BE⊥平面PAC．
因此，

BE

是平面PAC的一个法向量．
设平面PAB的一个法向量为

n

=（x，y，z），
则由

n ⊥ BA n ⊥ AP

，得

y=0 x-y+ 2 z=0

，取z=1，得

y=0 x=- 2

，
因此，

n

=(-

2

，0，1)，
于是cos＜

n

，

BE

＞=

n • BE

| n || BE |

=

- 2 2

2 2 • 3

=-

3

3

．
又因为二面角C-PA-B为锐角，故所求二面角的余弦值为

3

3

．

点评：本题考查线面垂直、异面直线及其所成角、二面角，考查空间向量在立体几何中的应用．