Question

18．已知x、y为正实数，且2x+y=1，则$\frac{y}{x}+\frac{1}{y}$的最小值为$2\sqrt{2}+1$．

Answer 1

分析 x、y为正实数，且2x+y=1，变形x=$\frac{1-y}{2}$＞0，解得0＜y＜1．可得$\frac{y}{x}+\frac{1}{y}$=$\frac{2y}{1-y}+\frac{1}{y}$=-2+$\frac{2}{1-y}$+$\frac{1}{y}$=f（y），再利用导数研究其单调性极值与最值即可得出．

解答 解：∵x、y为正实数，且2x+y=1，
∴x=$\frac{1-y}{2}$＞0，解得0＜y＜1．
∴$\frac{y}{x}+\frac{1}{y}$=$\frac{2y}{1-y}+\frac{1}{y}$=-2+$\frac{2}{1-y}$+$\frac{1}{y}$=f（y），
f′（y）=$\frac{2}{（1-y）^{2}}$-$\frac{1}{{y}^{2}}$=$\frac{{y}^{2}+2y-1}{（y-{y}^{2}）^{2}}$=$\frac{（y+1+\sqrt{2}）[y-（\sqrt{2}-1）]}{（y-{y}^{2}）^{2}}$，
可知：当y=$\sqrt{2}$-1时，函数f（y）取得极小值即最小值，
$f（\sqrt{2}-1）$=$2\sqrt{2}+1$．
故答案为：$2\sqrt{2}+1$．

点评 本题考查了利用导数研究其单调性极值与最值、不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．