Question

已知在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是边长为4的正方形，△PAD是正三角形，平面PAD⊥平面ABCD，E、F、G分别是PA、PB、BC的中点．
（1）求证：EF⊥平面PAD；
（2）求平面EFG与平面ABCD所成锐二面角的大小；
（3）若M为线段AB上靠近A的一个动点，问当AM长度等于多少时，直线MF与平面EFG所成角的正弦值等于

15

5

？

Answer 1

分析：方法一（1）由面面垂直来证线面垂直，本题中先证明AB⊥平面PAD，再由EF∥AB得出EF⊥平面PAD；
（2）建立空间坐标系，分别求出两平面的法向量用相关公式求出两个平面的夹角的余弦值，再求出角的大小；
（3）设AM=x，给出相应的坐标，求出向量MF的坐标，利用线面角的相关公式求出线面角；
方法二  在（1）的证明中用了向量，其它基本与方法一同；
方法三  完全用几何法解决问题（1）中用的是线面平行的判定定理；
（2）根据几何性质作出二面角的平面角，再证明，求之；
（3）作出线面角，根据正弦值等于

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5

建立关于参数的方程，求出参数值．

解答：解：
方法1：（1）证明：∵平面PAD⊥平面ABCD，AB⊥AD，
∴AB⊥平面PAD，（2分）
∵E、F为PA、PB的中点，
∴EF∥AB，∴EF⊥平面PAD；（4分）
（2）解：过P作AD的垂线，垂足为O，
∵平面PAD⊥平面ABCD，则PO⊥平面ABCD．
连OG，以OG，OD，OP为x、y、z轴建立空间坐标系，（6分）
∵PA=PD=AD=4，
∴OP=2

3

，OD=OA=2，
得A(0，-2，0)，B(4，-2，0)，C(4，2，0)，D(0，2，0)，P(0，0，2

3

)，E(0，-1，

3

)，F(2，-1，

3

)，G(4，0，0)，
故

EF

=(2，0，0)，

EG

=(4，1，-

3

)，
设平面EFG的一个法向量为n=（x，y，z）
则

n• EF =0 n• EG =0

，即

2x=0 4x+y- 3 z=0

取z=1，得n=(0，

3

，1)（7分）
平面ABCD的一个法向量为，n₁=（0，0，1）
平面EFG与平面ABCD所成锐二面角的余弦值是：|cos＜n，n1＞=|

n•n1

|n||n1|

|=

1

2

，
锐二面角的大小是60°（8分）
（3）设AM=x，M（x，-2，0），则

MF

=(2-x，1，

3

)，
设MF与平面EFG所成角为θ，
则sinθ=|cos＜n，

MF

＞=|

n• MF

|n|| MF |

|=

3

(2-x)2+4

=

15

5

，x=1或x=3，
∵M靠近A，∴x=1（10分）
∴当AM=1时，MF与平面EFG所成角正弦值等于

15

5

．（12分）

方法2：（1）证明：过P作PO⊥AD于O，∵平面PAD⊥平面ABCD，
则PO⊥平面ABCD，连OG，以OG，OD，OP为x、y、z轴建立空间坐标系，
（2分）
∵PA=PD=AD=4，∴OP=2

3

，OD=OA=2，
得A(0，-2，0)，B(4，-2，0)，C(4，2，0)，D(0，2，0)，P(0，0，2

3

)，E(0，-1，

3

)，F(2，-1，

3

)，G(4，0，0)，
故

EF

=(2，0，0)，

AD

=(0，4，0)，

PD

=(0，2，-2

3

)，
∵

EF

•

AD

=0，

EF

•

PD

=0，
∴EF⊥平面PAD；（4分）
（2）解：

EF

=(2，0，0)，

EG

=(4，1，-

3

)，
设平面EFG的一个法向量为n=（x，y，z），
则

n• EF =0 n• EG =0

，即

2x=0 4x+y- 3 z=0

取z=1，得n=(0，

3

，1)（7分）
平面ABCD的一个法向量为n₁=（0，0，1），以下同方法1

方法3：（I）证明：∵平面PAD⊥平面ABCD，AB⊥AD，
∴AB⊥平面PAD，（2分）
∵E、F为PA、PB的中点，
∴EF∥AB，∴EF⊥平面PAD；（4分）
（2）解：∵EF∥HG，AB∥HG，∴HG是所二面角的棱，（6分）
∵HG∥EF，∴HG⊥平面PAD，∴DH⊥HG，EH⊥HG，
∴∠EHA是锐二面角的平面角，等于60°；（8分）
（3）解：过M作MK⊥平面EFG于K，连接KF，
则∠KFM即为MF与平面EFG所成角，（10分）
因为AB∥EF，故AB∥平面EFG，故AB的点M到平面EFG的距离等于A到平面EFG的距离，
∵HG⊥平面PAD，∴平面EFGH⊥平面PBD于EH，
∴A到平面EFG的距离即三角形EHA的高，等于

3

，即MK=

3

，
∴

15

5

=

3

FM

，FM=

5

，在直角梯形EFMA中，AE=EF=2，
∴AM=1或AM=3∵M靠近A，∴AM=1（11分）
∴当AM=1时，MF与平面EFG所成角正弦值等于

15

5

．（12分）

点评：立体几何中点线面的关系问题的解决中常用的方法有三，一是用立体几何的方法，二是用空间向量法，三是立体几何与向量二者结合的方法．