Question

在直角坐标系中，以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系．若曲线ρ=1和ρ=2cos(θ+

π

3

)交于A，B两点，则|AB|=

3

．

Answer 1

分析：把两个圆的极坐标方程化为直角坐标方程，求出圆心和半径，求得公共弦所AB在的直线方程，再根据点到直线的距离公式，弦长公式，求得公共弦所AB的长度|AB|的值．

解答：解：曲线ρ=1即 ρ²=1，化为直角坐标方程为 x²+y²=1，表示以原点O（0，0）为圆心，半径为1的圆．
曲线ρ=2cos(θ+

π

3

)，即ρ²=2ρcos（θ+

π

3

）=2ρ（

1

2

cosθ-

3

2

sinθ）=ρcosθ-

3

ρsinθ，
化为直角坐标方程为 x²+y²=x-

3

y，即 (x-

1

2

)2+(y+

3

2

)2=1，表示以M（

1

2

，-

3

2

）为圆心，
半径等于1的圆．
把两个圆的方程相减，可得公共弦所AB在的直线方程为 x-

3

y-1=0．
圆心O到公共弦所AB在的直线的距离d=

|0-0-1|

1+3

=

1

2

，
故公共弦所AB的长度|AB|=2

1-d2

=2

1- 1 4

=

3

，
故答案为

3

．

点评：本题主要考查把极坐标方程化为直角坐标方程的方法，圆的标准方程的特征，直线和圆相交的性质，点到直线的距离公式，弦长公式的应用，属于中档题．