Question

（2012•扬州模拟）如图所示的镀锌铁皮材料ABCD，上沿DC为圆弧，其圆心为A，圆半径为2米，AD⊥AB，BC⊥AB，且BC=1米．现要用这块材料裁一个矩形PEAF（其中P在圆弧DC上、E在线段AB上，F在线段AD上）做圆柱的侧面，若以PE为母线，问如何裁剪可使圆柱的体积最大？其最大值是多少？

Answer 1

分析：解法1：分别以AB、AD所在直线为x轴、y轴建立直角坐标系xoy，设P(x，y)(0＜x≤

3

)，圆柱半径为r，体积为V，则PE=

4-x2

，r=

x

2π

，从而可求体积，利用换元法，结合求导数，即可求得V的最大值；
解法2：设∠PAB=θ(θ∈[

π

6

，

π

2

)，则PE=2sinθ，AE=2cosθ，r=

cosθ

π

，从而可求体积，利用换元法，结合求导数，即可求得V的最大值．

解答：解法1：分别以AB、AD所在直线为x轴、y轴建立直角坐标系xoy，
则圆弧DC的方程为：x2+y2=4(0≤x≤

3

，y＞0)，
设P(x，y)(0＜x≤

3

)，圆柱半径为r，体积为V，则PE=

4-x2

，
∵2πr=AE=x，∴r=

x

2π

，
∴V=πr2l=π(

x

2π

)2

4-x2

=

1

4π

x2

4-x2

，
∴V2=

1

16π2

x4(4-x2)，
设t=x²∈（0，3]，u=t²（4-t），∴u′=-3t2+8t=-3t(t-

8

3

)，
令u'=0，得t=

8

3

，
当

8

3

＜t≤3时，u'＜0，u是减函数；当0＜t＜

8

3

时，u'＞0，u是增函数，
∴当t=

8

3

时，u有极大值，也是最大值，
∴当x=

2

3

6

米时，V有最大值

4 3

9π

米³，此时y=

4-x2

=

2

3

3

米，
答：裁一个矩形，两边长分别为

2

3

6

m和

2

3

3

m，能使圆柱的体积最大，其最大值为

4 3

9π

m³．
解法2：设∠PAB=θ(θ∈[

π

6

，

π

2

)，则PE=2sinθ，AE=2cosθ，
由2πr=AE=2cosθ，得r=

cosθ

π

，
∴V=πr2•PE=π(

cosθ

π

)2•2sinθ=

2

π

(1-sin2θ)sinθ，
设sinθ=t∈[

1

2

，1)，u=t（1-t²），u′=-3t2+1=-3(t+

3

3

)(t-

3

3

)，
令u'=0，得t=

3

3

，
当

3

3

＜t＜1时，u'＜0，u是减函数；当

1

2

≤t＜

3

3

时，u'＞0，u是增函数，
∴当t=

3

3

时，u有极大值，也是最大值．
∴θ=arcsin

3

3

时，V有最大值

4 3

9π

米³．

点评：本题考查导数知识的运用，考查函数模型的构建，解题的关键是函数模型的构建，属于中档题．