Question

若正三角形的一个顶点位于坐标原点，另外两个顶点在抛物线y²=2px（p＞0）上，则这个正三角形的面积是（　　）

• A．4

  3

  p2
• B．12

  3

  p2
• C．48p²
• D．36p²

Answer 1

分析：设另外两个顶点的坐标分别为（ a，

3

3

a）、（ a，-

3

3

a），代入抛物线方程可得

a2

3

=2pa，解得 a=6p，可得正三角形的边长为

2 3

3

a=4

3

p，
由此求得这个正三角形的面积．

解答：解：由题意可得，正三角形的另外两个顶点关于x轴对称，设另外两个顶点的坐标分别为（ a，

3

3

a）、（ a，-

3

3

a），
把顶点（ a，

3

3

a） 代入抛物线方程可得

a2

3

=2pa，解得a=6p，故正三角形的边长为

2 3

3

a=4

3

p，
故这个正三角形的面积是

1

2

•4

3

p•4

3

p•sin60°=12

3

p²，
故选B．

点评：本题主要考查抛物线的定义、标准方程，以及简单性质的应用，属于中档题．