Question

如图所示，已知三棱柱A1B1C1－ABC的底面是边长为2的正三角形，侧棱A1A与AB、AC均成角，且A1E⊥B1B于E，A1F⊥CC1于F． (1) 求证：平面A1EF⊥平面B1BCC1 (2) 求点A到平面B1BCC1的距离 (3) 当AA1为多长时，点A1到平面ABC与平面B1BCC1的距离相等?

Answer 1

答案：
解析：

(1)	解析：已知A1E⊥B1B于E，A1F⊥C1C于F，∵B1B∥C1C，∴B1B⊥A1F 　　又A1E∩A1F=A1，∴B1B⊥平面A1EF． 　　∴平面A1EF⊥平面B1BCC1．
(2)	∵∠A1B1B=∠A1AB=∠A1AC=∠A1C1C=，A1B1=A1C1， 　　又∠A1EB1=∠A1FC1=，A1B1=2， 　　∴Rt△A1B1E≌Rt△A1C1F，∴A1E=A1F=． 　　∴B1E∥C1F，∴EF=B1C1=2． 　　∴A1E2＋A1F2=EF2， 　　∴△A1EF为等腰直角三角形． 　　取EF的中点N，连结A1N，则A1N⊥EF，∴A1N⊥平面B1BCC1． 　　∴A1N为点A1到平面B1BCC1的距离． 　　又A1N=EF=1， 　　所以点A1到平面B1BCC1的距离为1．
(3)	如图所示，设BC、B1C1的中点分别为D、D1，连结AD、DD1和A1D1，则N∈DD1． 　　∵DD1∥BB1∥AA1，∴A、A1、D、D1四点共面，∴AD∥A1D1，∴四边形A1ADD1为平行四边形． 　　∵B1C1⊥A1D1，A1N⊥平面BCC1B1， 　　∴B1C1⊥D1D，又B1C1⊥A1N， 　　∴B1C1⊥平面ADD1A1． 　　∴BC⊥平面ADD1A． 　　∴平面A1ADD1⊥平面ABC． 　　作A1M⊥平面ABC于M，则点M在AD上． 　　若A1M＝AN，又∠A1AD=∠A1D1D，∠A1MA=∠A1ND1=， 　　则Rt△A1MA ≌ Rt△A1ND1． 　　于是A1A=A1D1=． 　　即当A1A=时，点A1到平面ABC和平面B1BCC1的距离相等． 　　点评：本题中点到平面的距离用垂面法，理论依据是面面垂直的性质定理．