Question

将边长为2的正方形ABCD沿对角线BD折叠，使得平面ABD⊥平面CBD，AE⊥平面ABD，且AE=

2

．
（Ⅰ）求证：DE⊥AC；
（Ⅱ）求DE与平面BEC所成角的正弦值；
（Ⅲ）直线BE上是否存在一点M，使得CM∥平面ADE，若存在，求点M的位置，不存在请说明理由．

Answer 1

分析：（Ⅰ）借助空间向量来证 DE⊥AC，只需在空间直角坐标系下，证明

DE

•

AC

=0 即可．以A为坐标原点AB，AD，AE所在的直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，再写出定点E，A，B，D的坐标，求出C点坐标，向量

DE

，

AC

坐标，再计算（Ⅱ）

DE

•

AC

，看是否为0．
（Ⅱ）DE与平面BEC所成角，也即DE与平面BCE的法向量所成角的余角，设平面BCE的法向量为

n

=（x，y，z） 则
根据法向量与平面内任意向量垂直，即可求出平面BCE的法向量坐标，再求平面BCE的法向量与DE所成角，最后求出该角的余角即可．
（III）先假设直线BE上存在一点M，使得CM∥平面ADE，向量

CM

垂直于平面ADE的法向量，再利用垂直时数量积为0来计算．如能计算出参数λ的值，则存在，否则，不存在．

解答：解：（Ⅰ）以A为坐标原点AB，AD，AE所在的直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系
则E（0，0，

2

），B（2，0，0）D（0，2，0），
做BD的中点F并连接CF，AF；由题意可得CF⊥BD且AF=CF=

2

又∵平面BDA⊥平面BDC，∴CF⊥平面BDA，
所以C的坐标为C（1，1，

2

）
∴

DE

=（0，-2，

2

），

AC

=（1，1，

2

）
∴

DE

•

AC

=（0，-2，

2

）•（1，1，

2

）=0
故DE⊥AC                                                     　　　  
（Ⅱ）设平面BCE的法向量为

n

=（x，y，z） 则

n • EB =0 N • CB =0

，即

2x- 2 z=0 x-y- 2 z=0

∴

z= 2 y=-x

令x=1得

n

=（1，-1，

2

）    又

DE

=（0，-2，

2

）                        　　 
设平面DE与平面BCE所成角为θ，则
sinθ=|cos＜

n

，

DE

＞|=

| n • DE |

| n| | DE|

=

6

3

（III）假设存在点M使得CM∥面ADE，则

EM

=λ

EB

EB

=（2，0，-

2

），∴

EM

=（2λ，0，-

2

λ）  得M（2λ，0，

2

-

2

λ）     　
又因为AE⊥平面ABD，AB⊥AD  所以AB⊥平面ADE
因为CM∥面ADE，则

CM

⊥

AB

 即

CM

•

AB

=0
得2λ-1=0∴λ=

1

2

故点M为BE的中点时CM∥面ADE．

点评：夲题考查了用空间向量求证线线垂直，线面平行，以及线面角，属于常规题，需掌握．