Question

（2013•安徽）已知直线y=a交抛物线y=x²于A，B两点，若该抛物线上存在点C，使得∠ACB为直角，则a的取值范围为

[1，+∞）

．

Answer 1

分析：如图所示，可知A(-

a

，a)，B(

a

，a)，设C（m，m²），由该抛物线上存在点C，使得∠ACB为直角，可得

AC

•

BC

=0．即可得到a的取值范围．

解答：解：如图所示，可知A(-

a

，a)，B(

a

，a)，
设C（m，m²），

AC

=(m+

a

，m2-a)，

BC

=(m-

a

，m2-a)．
∵该抛物线上存在点C，使得∠ACB为直角，
∴

AC

•

BC

=(m+

a

)(m-

a

)+(m2-a)2=0．
化为m²-a+（m²-a）²=0．
∵m≠

a

，∴m²=a-1≥0，解得a≥1．
∴a 的取值范围为[1，+∞）．
故答案为[1，+∞）．

点评：本题考查了如何表示抛物线上点的坐标、垂直于数量积得关系等基础知识，考查了推理能力和计算能力．