Question

（2013•闸北区二模）设定义域为R的函数f（x）=

2x+1

a+4x

为偶函数，其中a为实常数．
（1）求a的值，指出并证明该函数的其它基本性质；
（2）请你选定一个区间D，求该函数在区间D上的反函数f^-1（x）．

Answer 1

分析：（1）根据给出的函数是偶函数，直接利用偶函数的定义f（-x）=f（x）整理后求a的值，把求出的a值代入原函数解析式，利用函数单调性的定义判断函数的单调性，结合指数函数的性质，利用基本不等式求出函数最值，由函数对应的方程无根判断原函数没有零点；
（2）由（1）得到了函数单调区间，选定一个单调区间或在单调区间内选择一个子区间，由函数解析式解出x，把x和y 互换后得到函数的反函数．

解答：解：（1）因为f（x）=

2x+1

a+4x

为R上的偶函数，
所以对于任意的x∈R，都有

2-x+1

a+4-x

=

2x+1

a+4x

，
也就是2^-x+1•（a+4^x）=2^x+1•（a+4^-x），
即（a-1）（4^x+1）=0对x∈R恒成立，
所以，a=1．
所以f(x)=

2x+1

1+4x

．
由f(x1)-f(x2)=

2x1+1

1+4x1

-

2x2+1

1+4x2

=

2(2x2-2x1)(2x1+x2-1)

(1+4x1)(1+4x2)

设x₁＜x₂＜0，则(1+4x1)(1+4x2)＞0，2x2-2x1＞0，2x1+x2-1＜0，
所以，对任意的x₁，x₂∈（-∞，0），有

2(2x2-2x1)(2x1+x2-1)

(1+4x1)(1+4x2)

＜0
即f（x₁）-f（x₂）＜0，f（x₁）＜f（x₂）．
故，f（x）在（-∞，0）上是单调递增函数．
又对任意的x₁，x₂∈（0，+∞），在x₁＜x₂时，(1+4x1)(1+4x2)＞0，
2x2-2x1＞0，2x1+x2-1＞0．
所以

2(2x2-2x1)(2x1+x2-1)

(1+4x1)(1+4x2)

＞0．
则f（x₁）-f（x₂）＞0，即f（x₁）＞f（x₂）．
故f（x）在（0，+∞）上是单调递减函数．
对于任意的x∈R，f(x)=

2x+1

1+4x

=

2

2x+2-x

≤1，
故当x=0时，f（x）取得最大值1．
因为2^x+1＞0，所以方程f(x)=

2x+1

1+4x

=0无解，故函数f（x）=

2x+1

1+4x

无零点．
（2）选定D=（0，+∞），
由y=

2x+1

1+4x

，得：y（2^x）²-2×2^x+y=0
所以2x=

1+ 1-y2

y

，x=log2

1+ 1-y2

y

 （0＜y≤1）
所以f-1(x)=log2

1+ 1-x2

x

，x∈（0，1]．

点评：本题考查了函数奇偶性的性质，训练了函数单调性的证明方法，训练了利用基本不等式求函数的最值，考查了函数反函数的求法，求解一个函数的反函数时，一定要注意函数反函数的定义域是原函数的值域，此题是中档题．