Question

三个顶点均在椭圆上的三角形称为椭圆的内接三角形．已知点A是椭圆的一个短轴端点，如果以A为直角顶点的椭圆内接等腰直角三角形有且仅有三个，则椭圆的离心率的取值范围是

1. A.
   
2. B.
   
3. C.
   
4. D.
   

Answer 1

D
分析：设椭圆的方程为，直线AB方程为y=kx+b（k＞0），两方程联解得到B的横坐标为-，从而得|AB|=•，同理得到|AC|=•．根据|AB|=|AC|建立关于k、a、b的方程，化简整理得到（k-1）[b²k²+（b²-a²）k+b²]=0，结合题意得该方程有三个不相等的实数根，根据一元二次方程根与系数的关系和根的判别式建立关于a、b的不等式，解之即得c²＞2b²，由此结合a²=b²+c²即可解出该椭圆的离心率的取值范围．
解答：解：设椭圆的方程为（a＞b＞0），
根据BA、AC互相垂直，设直线AB方程为y=kx+b（k＞0），AC方程为y=-x+b
由，消去y并化简得（a²k²+b²）x²+2ka²bx=0
解之得x₁=0，x₂=-，可得B的横坐标为-，
∴|AB|=|x₁-x₂|=•．
同理可得，|AC|=•
∵△ABC是以A为直角顶点的椭圆内接等腰直角三角形，
∴|AB|=|AC|即•=•，
化简整理，得b²k³-a²k²+a²k-b²=0，分解因式得：（k-1）[b²k²+（b²-a²）k+b²]=0…（*）
方程（*）的一个解是k₁=1，另两个解是方程b²k²+（b²-a²）k+b²=0的根
∵k₁=1不是方程b²k²+（b²-a²）k+b²=0的根，
∴当方程b²k²+（b²-a²）k+b²=0有两个不相等的正数根时，方程（*）有3个不相等的实数根
相应地，以A为直角顶点的椭圆内接等腰直角三角形也有三个．
因此，△=（b²-a²）²-2b⁴＞0且，化简得c²＞2b²
即3c²＞2a²，两边都除以3a²得＞，
∴离心率e满足e²＞，解之得e＞，结合椭圆的离心率e＜1，得＜e＜1
故选：D
点评：本题给出以椭圆上顶点为直角顶点的内接等腰直角三角形存在3个，求椭圆的离心率取值范围，着重考查了椭圆的标准方程、简单几何性质和直线与椭圆位置关系等知识点，属于中档题．